Leserartikel-Blog

Bifurkations-Geometrien fraktal und evolutionär: Chaosforscher Benoît Mandelbrot stirbt an Krebs

Ein universelles mathematisches Prinzip erkannte Benoît Mandelbrot in fraktaler Geometrie und Selbstähnlichkeit. Trotz innerer Ordnung mit Symmetrien wurde die Mandelbrot-Menge zum Symbol für das mathematische Chaos. Dass ausgerechnet der Vater der Schönheit des Mandelbrot-Männchens einem Krebs-Leiden erlag, ist als bestürzende Nachricht zu sehen. Krebs entwickelt sich zerstörend-chaotisch; Zell-Teilungen verlassen hier Symmetrien. Der Bremer Mathematiker und Fraktale-Experte Heinz-Otto Peitgen meinte einmal, man sei versucht, in der Morphogenese der Mandelbrot-Menge eine Analogie zum Bauplan der Lebewesen zu vermuten: omnipotentes Genom: global selbstähnlich. Heute entwickelt man dreidimensionale Fraktale; siehe SdW 04/10.

Symmetrologie und Chaosforschung sind unter den Oberbegriffen Evolution und Selbstorganisation durch Brücken-Bildung zu vernetzen. Zwei Bifurkations-Geometrien gibt es: eine fraktale und evolutionäre. Eine Evolutionäre Chaostheorie ist noch zu entwickeln. Zur Evolutionären Bifurkations-Geometrie (Evolutionären Symmetrietheorie) siehe mehr im Internet. SdW 5/1997 berichtete dazu in einer Buchrezension mit Anmerkungen zur EST von mir: http://www.spektrum.de/ar.... Benoît Mandelbrot wurde zu einer Schlüsselfigur bei der Wieder-Annäherung von Kunst und Wissenschaft in den letzten Jahrzehnten; ein echter Neo-Renaissance-Künstler. Dank Herrn Christoph Pöppe für den Nachruf! Siehe auch Link: http://www.spektrumverlag...

Berichtet wird, dass es erste Schritte zur Früherkennung von Krebs unter Anwendung der fraktalen Geometrie gibt. Die Sichtbarmachung der chaotischen Zellstrukturen vor der ersten Wucherung könnte dann sicher viel Leid durch frühe Therapien mindern. Leider kommt es ausgerechnet für Mandelbrot zu spät! Das Thema wurde in einem Film behandelt, der auf Arte lief. Dort wurden Beispiele aus der medizinischen Forschung gezeigt. Der Titel des Film war: "Fraktale, Die Faszination der verborgenen Dimension" - gedreht von Bill Jersey und Michael Schwarz. Film am Samstag, 9. Oktober 2010; von 2008.

Die SZ schrieb unter dem Titel "Unendlich schön" im Nachruf zu Mandelbrots Tod:

(...) Bei einem Fraktal handelt es sich um eine Form, die sich - immer kleiner werdend - unendlich oft wiederholt. Je genauer man hinschaut, desto öfter findet man die immergleichen Strukturen. Mandelbrot führte zur Erklärung des Phänomens oftmals die Struktur des Blumenkohls an, bei dem jedes Teilchen exakt so aussieht wie der gesamte Kohl. Mandelbrots Erkenntnisse beeinflussten die Mathematik, die Physik und die Biologie enorm. (...) "Unendliche Wunder" lautete der Artikel vom 19.10. in der SZ zum Tode des B.M.: Erinnert wird an B.M.s legendär gewordenen Aufsatz in "Science" 1967: zur Küstenlinien-Berechnung. Hier stellte er die Theorie der "Fraktale" vor. Bei unterschiedlicher Vergrößerung eines Fraktals treten stets die gleichen Strukturen zutage: "Jeder Teil des Ganzen sieht selbst aus wie das Ganze, nur kleiner", beschrieb B.M. die Eigenschaft fraktaler Gebilde. Der SZ-Artikel vermerkt, dass Mandelbrot sich auch dem "neuen Thema" Wachstum von Tumoren in der Medizin zugewendet habe.

Geheimnissen natürlicher Formenvielfalt auf der Spur

Benoît Mandelbrot hat die Mathematik mit seiner fraktalen Geometrie revolutioniert. Nun starb der "Vater der Fraktale": In den achtziger Jahren machte er eine der wohl erstaunlichsten Entdeckungen der Chaos-Forschung. Wenige kannten ihn - sein „Apfelmännchen“ machte Karriere, denn B.M. schenkte der Mathematik eine neue Ästhetik – seine Spuren bleiben unauslöschlich.

Die filigranen, am Computer generierten Visualisierungen von hochkomplexen mathematischen Funktionen haben den Mathematik-Erneuerer bekannt gemacht. Das „Mandelbrot-Männchen“ als „Apfelmännchen“ ist nach B.M. benannt. Dass ausgerechnet der Vater einer Schönheit der Mathematik (der Geometrie-Fraktale) einem Krebs-Leiden erlegen ist, muss als bestürzende Nachricht gesehen werden. KREBS entwickelt sich zerstörend-chaotisch; Zell-Teilungen verlassen hier die SYMMETRIEN.

Benoît Mandelbrot – er vestarb im Alter von 85 Jahren - prägte nicht nur die Mathematik, sondern hatte auch großen Einfluss auf viele Künstler. Der in Polen geborene französisch-US-amerikanische Mathematiker wurde weithin bekannt durch sein Buch “Die fraktale Geometrie der Natur” (1). Zur Website B.M.s: http://www.math.yale.edu/....

„Er hat die wundersame Welt der Fraktale populär gemacht und so Kunst und Mathematik miteinander versöhnt“, formulierte DER SPIEGEL Online in einem Nachruf; er sei „einer der größten Forscher des 20. Jahrhunderts“ gewesen (http://www.spiegel.de/wis...).

MANDELBROT-Menge & Apfelmännchen

Ebenda wird erklärt, dass hinter dem berühmten Apfelmännchen die so genannte „Mandelbrot-Menge“ steckt. Wie mathematisch das bekannte Apfelmännchen entsteht, das immer feinere Strukturen aufweist, je genauer man rechnet, ist auch im WEB nachzulesen. Auch wenn man sofort an „Selbstähnlichkeit“ denkt, sei die Mandelbrot-Menge kein Fraktal im engeren Sinn, „denn ihre Strukturen wiederholen sich nicht auf identische Weise wie etwa bei der Koch-Kurve oder dem Sierpinski-Dreieck“, betont SPIEGEL-Wissen.

Zur Mandelbrotmenge mehr: http://de.wikipedia.org/w....

Bilder zur Mandelbrotmenge:
http://www.google.de/imag...

Bilder zu Mandelbrotmenge – werner hahn:
http://www.google.de/imag...

Fraktale / VIDEOs:

Best Fractal Zoom Ever (Aufrufe 176.090):
http://www.youtube.com/wa...
Fractals – Mandelbrot : Video mit 134.301 Aufrufen
http://www.youtube.com/wa...

Wiedervereinigung von Kunst und Mathematik; auch von Kunst & Natur? (3)

Gewiss haben Fraktale „Kunst und Mathematik“ wieder miteinander versöhnt; in der Renaissance - zu Beginn der Neuzeit - waren KUNST & MATHEMATIK noch vereint; denken wir an DÜRERs Proportionsstudien, Perspektive-Überlegungen/Untersuchungen.

DER SPIEGEL überlegt:

Die Welt, die uns umgibt, scheine „auf zweierlei Weisen geformt“ zu sein: Auf der einen Seite seien „eher abstrakte Objekte mit klaren geometrischen Formen“ (Häuser, Bälle oder Möbel). Auf der anderen Seite seien „scharfkantige, schroffe Felsen, die raue Rinde eines Baums und ein fein verästeltes Farnblatt“. Dem französischen Mathematiker Benoît Mandelbrot sei es gelungen – wird behauptet - , diese scheinbar so gegensätzlichen Formen „zusammenzubringen - mit der fraktalen Geometrie“. Mandelbrot habe zeigen können, „dass sich Schneeflocken, Brokkoli und Felsformationen fast genauso einfach mathematisch beschreiben lassen wie eine Pyramide oder ein Würfel“. Blumenkohl (der Kohl Romanesco), Farne oder wachsende Kristalle werden in diesem Zusammenhang genannt:

„Mandelbrots Arbeiten haben bewiesen, dass Geometrie weit mehr leisten kann als Dreiecke, Quader und Kugeln zu beschreiben“ lesen wir a.a.O.. Und: Die Natur kenne „viel verrücktere Formen“, und B.M. habe mit Kollegen die „Werkzeuge entwickelt, um auch diese exotischen Gebilde modellieren zu können“.

Sie gleicht immer nur sich selbst - die Mandelbrot-Menge. (Vergleichbar GOETHEs Urpflanzen/Metamorphose-Theorie: „Alles ist Blatt (4))

Ein bekannter deutscher Fraktale-Forscher, den ich auf dem Darmstädter Symmetrie Symposium kennengelernt habe (2), sagt zum Tod des „Vaters der Fraktale“ in DRadio Wissen:

PEITGEN zu FRAKTALEN wörtlich: In der Natur treten diese Formen häufig auf: Ein Blumenkohlröschen lässt sich in viele kleine Röschen einteilen, die jedes für sich dem ganzen Kohl ähneln. Ähnlich verhält es sich bei Farnen, Bäumen, Wolken oder Blutbahnen. Die Mandelbrot-Menge dient als elementares Objekt in der Chaostheorie. Aufgrund ihrer Form hat sie weit über die Mathematik hinaus Einfluss gehabt: In der Kunst hat sie für einen wahren Boom fraktaler Formen gesorgt. Dabei steht die Komplexität der Formen im krassen Gegensatz zu dem vergleichsweise einfachen Algorithmus der ihr zugrunde liegt - ganz ähnlich wie es auch in der Natur gang gäbe ist.

(IN http://wissen.dradio.de/m... Interview mit dem Fraktalforscher Heinz-Otto Peitgen)

Stimmen anderer – aus NACHRUFEN zu B.M.s Tod:

DIE ZEIT: Christoph DRÖSSER 18.10.10

„Der Meister der unerhörten Formen: Ihn kannten wenige, sein Apfelmännchen machte Karriere: Benoît Mandelbrot schenkte der Mathematik eine neue Ästhetik – seine Spuren bleiben unauslöschlich.“ Ebenda: "Bodenlose Wunder entspringen aus einfachen Regeln, die ohne Ende wiederholt werden." Das waren die letzten Worte, die Benoît Mandelbrot bei seinem letzten öffentlichen Vortrag sprach. Das war im Februar 2010 auf einer Konferenz in Kalifornien.

FAZ: Manfred LINDINGER 18.10.10

„Formeln sind schön - Beim Berechnen der Länge einer Küstenlinie stieß er auf jene Strukturen, deren Untersuchung ihn berühmt machen sollte: Fraktale und Formen der Selbstähnlichkeit“. B.M.s Apfelmännchen sei vor 30 Jahren gleichsam als „ein geometrisches Gebilde (…) über Nacht zum Kultobjekt für Mathematiker und Pop-Art-Künstler geworden“: Das AM von B.M. mit seinem „ungeheuren Formenreichtum und seiner eigenwilligen Schönheit“ hätten „selbst Menschen in ihren Bann gezogen, die sonst lieber einen großen Bogen um die Mathematik machen“ (…)

derStandard.at Wissenschaft 17/10/10

(...) Der 1924 in Polen geborene Mathematiker wurde mit seinen visuell beeindruckenden Fraktalen auch zu einer Schlüsselfigur bei der Wiederannäherung von Kunst und Wissenschaft in den vergangenen Jahrzehnten (...)

Spektrum der Wissenschaft 19/1010 - Christoph Pöppe

(...) Man kann mit einiger Sicherheit davon ausgehen, dass das Wort "Fraktal" und die unzähligen Bilder vom Apfelmännchen und seinen Verwandten nie das große Publikum erreicht hätten, wenn nicht Benoît Mandelbrot sich so unermüdlich für ihre Popularisierung eingesetzt hätte. Insofern hat Mandelbrot mehr für die Verbreitung von Mathematik unter das Volk getan als jeder andere Zeitgenosse. (...) Wer die "fraktale Geometrie der Natur" durcharbeiten will, hat jede Menge Lücken zu füllen (Spektrum der Wissenschaft 7/1988, S. 114). Das ist nicht das, was Mathematiker unter korrektem Arbeiten verstehen, weswegen er unter ihnen nie über eine gewisse Außenseiterposition hinauskam. Aber seine Ideen haben sich durchgesetzt. (...)

(http://www.wissenschaft-o... - lesenswert!)

LITERATUR – Anmerkungen

(1) MANDELBROT, Benoit B.: Die fraktale Geometrie der Natur. Taschenbuch: 491 Seiten - Verlag: Birkhäuser Verlag (1991). Siehe a&s-p-Bild.

(2) HAHN, Werner: URKNALL-Streit & GEOMETRIE - fraktal und/oder evolutionär. ETOE (Teil 1): Evolutionäre Theory Of Everything.
In DIE ZEIT 09.04.10: http://community.zeit.de/...

Über „Symmetrie im Chaos – Selbstähnlichkeit in komplexen Systemen“ hat PEITGEN gemeint, man sei „versucht“ in der Morphogenese der mathematischen Mandelbrotmenge mit komprimierten Juliamengen „eine Analogie zum Bauplan der Lebewesen zu vermuten“: „omnipotentes Genom: global selbstähnlich“ (wie im Kern aller Zellen der Lebewesen).

Siehe dazu auch WILLE, Rudolf (1988): SYMMETRIE in Geistes- und Naturwissenschaft. Berlin etc. A.a.O. der Artikel von Heinz-Otto PEITGEN (S. 30-49). Ebenda auch mehr zum Periodenverdopplungs-Scenario und der 1977 berechneten Feigenbaum-Universalität – S. Großmann/S.Thomae – universelle Konstante 4,669…!

(3) HAHN, Werner: Zu Prof. Dr. Dr. h.c. Siegfried Großmann - Wegbereiter der Nichtlinearen Dynamik, führender Turbulenzforscher: http://www.myheimat.de/gl... - mit 16 Bildern v.28.2.10.

In einem Marburger Gespräch bestätigte mir Herr Großmann, dass alle Arten von Chaos mathematische Gemeinsamkeiten zeigen. Feigenbaum fand das Prinzip der sog. „periodischen Verdopplung“, das Symmetrien offenbart. Zum Thema Chaos-Muster und Chaostheorie äußerte ich mich 1989 nur auf einer Seite meines SYMMETRIE-Buches von 1989, in Abb. 613 veröffentlichte ich 2 Fotos von „Sekundärapfelmännchen“ und einen „Clown“ als computerexperimentelles Resultat: Mandelbrotmenge, in Bremen „Apfelmännchen“ getauft.

Mit der „Fraktalen Geometrie“ setzte ich mich später intensiver auseinander; siehe meine Äußerungen in der EST-Anthologie (Hrsg. HAHN/WEIBEL) – Aufsatz in einem Link zu lesen in www.art-and-science.de :

Symmetrologie und Chaosforschung seien unter den „Oberbegriffen Evolution und Selbstorganisation“ durch „Brücken“-Bildung zu vernetzen. (S. 259). Zur Attraktorhypothese, Selbstähnlichkeit, Periodenverdopplung (Wasserhahn-Tropfen), Apfelmännchenfraktal, Bifurkationsgeometrien (fraktal und evolutionär) ebenda mehr (S. 260/261). Eine „Evolutionäre Chaostheorie“ müsse noch entwickelt werden, schrieb ich. In Herrn Professor Großmann sehe ich einen Naturforscher, der den Dialog der Kulturen beispielhaft-vorbildlich, nachahmenswert erheblich gefördert hat. Die von mit im Internet mehrfach geforderte dritte „Brücken-Kultur“ konnte durch die von Großmann geförderte Initiative EST wirklich stattfinden: Beweis Symmetrie-Symposium &Anthologie!

Ebenda zum Apfelmännchen (AM): 1980 wurde es von Benoît Mandelbrot erstmals computergrafisch dargestellt und untersucht. Der Formenreichtum des AM zeigt sich an stark vergrößerten Ausschnitten des Randes, die überdies Beispiele für das Konzept der Selbstähnlichkeit bei Fraktalen liefern. Trotz der hohen inneren Ordnung mit Symmetrien wurde die Mandelbrot-Menge zum Symbol für das mathematische Chaos.

Zum Thema "Mathematik, Mandelbrot-Menge, Chaologie, Weltformel und EVOLUTION" auch vom 17/11/08: http://community.zeit.de/...

Siehe auch mehr in meinem bebilderten Artikel in
http://www.myheimat.de/gl... 22 Bilder - Ebenda formulierte ich:

Fehlende Evolutionäre Chaostheorie und existierende Evolutionäre Bifurkations-Geometrie (EST: Evolutionäre Symmetrietheorie)

Eine Evolutionäre Chaostheorie existiert nicht - sie ist noch zu entwickeln. Mandelbrots Fraktale Geometrie stellte ich meine Evolutionäre Geometrie gegenüber (EST-Buch S. 261), die beide in nichtlinearen dynamischen Prozessen Bifurkationen (Verzweigungen) erzeugen. In der Evolutionäre Geometrie bewirken evolutionäre Iterationen den Gestaltwandel (siehe so auch im Stil ars evolutoria). Prof. Dr. Siegfried Grossmann (Physiker, Mathematiker, Chaosforscher; Philipps-Universität-Marburg) der mein Projekt Evolutionäre Symmetrietheorie (EST) sehr unterstützt hat (Brief 1992), schrieb in einer Rezension zu (3) in: Physikalische Blätter, 53. Jahrgang. Heft 12 Dezember 1997, S. 1228; ebenso in: Zeitschrift Physik Journal, September 2003) über EST gut zusammengefasst:

Symmetrie wird nicht mehr eher als statischer Begriff gesehen, mathematisch durch eine Gruppe von Transformationen dargestellt, sondern als Rahmen, Leitbild, Verursacher von Dynamik, von Geschehen, von Entwicklung, Selbstorganisation und Komplexität. Bifurkation und Symmetriebrechung, auch Chaos in der Entwicklung von Systemen sind es, durch additive und geometrische Symmetrien charakterisiert, was evolutionäre Symmetrietheorie meint.

Auch: Zur dynamischen Apfelmännchen-Struktur (Zooms) siehe You Tube VIDEOs - z.B.:
http://www.youtube.com/wa...
http://www.youtube.com/wa...

Zur Chaosforschung siehe auch ein SPIEGEL-Interview mit dem Mathematiker Heinz-Otto Peitgen:
http://www.spiegel.de/wis......

Der Bremer Mathematiker Heinz-Otto PEITGEN hat viel zur Popularität der Fraktale beigetragen: durch Grafiken, öffentliche Auftritte (z.B. Symmetriesymposium Darmstadt) und Fortbildungsveranstaltungen. Vor allem hat er MANDELBROT durch das legendäre Video "Fraktale in Filmen und Gesprächen" von 1990 ein Denkmal gesetzt.

(4) GOETHE & FORM-Gesetze in Natur & Kunst

Auf den ersten Blick erscheint die Fülle und Vielfalt der NATUR-Formen dem KUNST- und NATUR-Freund eher verwirrend. Ein gemeinsames ästhetisches Grundprinzip erahnte Künstler-Forscher GOETHE, der in seiner METAMORPHOSE-Lehre meinte: “Alle Gestalten sind ähnlich - doch keine gleichet der anderen. Und so deutet das Chor auf ein geheimes Gesetz, auf ein heiliges Rätsel”. (Zur „Urpflanze“.)

Die Metamorphose der Pflanzen hatte der Forscher-Künstler/Dichter seinerzeit überstürzt 1790 veröffentlicht, weil er befürchtete, dass er nicht der Erste sein könnte mit der Veröffentlichung seiner Erkenntnisse zur „URPFLANZE“ („Alles ist Blatt“). Goethe fürchtete um die Priorität seiner Erkenntnisse. Dieses Problem machte Charles DARWIN und auch mir schon zu schaffen.

Über GOETHEs nicht evolutionär gemeinte Lehre – sein „Formgesetz“ - diskutierte ich in Büchern ausführlich: Motto „ Wäre die Natur in ihren leblosen Anfängen nicht so gründlich stereometrisch, wie wollte sie zuletzt zum unberechenbaren und unermesslichen Leben gelangen.“

GOETHE meinte 1787: „Mit diesem Modell und dem Schlüssel dazu kann man alsdann noch Pflanzen ins Unendliche erfinden, die konsequent sein müssen, das heißt: die, wenn sie auch nicht existieren, doch existieren könnten ... Dasselbe Gesetz wird sich auf alles übrige Lebendige anwenden lassen." Mehr: Googeln zu "Evolutionären Theory of Everything" (ETOE), 4 Artikel (auch DIE ZEIT Online). Zu „ETOE“ & „EST“ - Evolutionäre Symmetrietheorie und Darwin (…)