Leserartikel-Blog

Experimente mit der Logik

Kann Philosophie den Zugang zur Mathematik erleichtern?
von Gerhard Schallenkamp
 
Contents:
1. The importance of the Greeks (first proofs, Platon’s interactive method) and Euclid’s role model (explaining everything on a few principles and mathematics as theory).
2. The concept of free scope (possibilities of rules)
3. The approach in mathematical knowledge (problem solving with interaction of creativity and doubt)
4. The openness and logical induction (the special implies the general)
 
Entdeckung der Logik
Mathematik ist so alt wie die Menschheit. Sie begann als lose Sammlung technischer Regeln zur Lösung alltäglicher Aufgaben, vergleichbar mühsamen Kochrezepten. Sie waren immer intuitiv-experimentell gefunden worden, bis die alten Griechen erste rationale Begründungen fanden. Zu den Beweis-Pionieren gehörte Thales von Milet (um 600 v. Chr., bekannt durch den Satz: Der Winkel im Halbkreis ist ein Rechter). Auch die Pythagoreer (6. Jh. vor Chr.) suchten und fanden immer neue Gesetzmäßigkeiten, logische Argumente und Anwendungen (z.B. in der Musik) und verkündeten: „Alles ist Zahl.“ Erste Konzepte über Beweise, Axiome und Definitionen entstanden und damit Anfänge von Wissenschaft: Mathematik als Theorie und als Mittel, um Theorien über die Welt zu entwerfen.
Platon (427 - 347), auf der Suche nach den ewigen Werten, dem Wahren, Guten und Schönen, war fasziniert von der Mathematik, besonders von der Geometrie, weil es ihr durch reines Denken gelang, ewig sicheres Wissen in Form von mathematischen Sätzen zu präsentieren. Für Platon konnten diese Ideen nicht aus der Natur, der Sinnenwelt stammen sondern aus einer unvergänglichen Welt der Ideen darüber, die jeder Mensch in sich trug. Die Mathematik, die in der Sinnenwelt nicht so perfekt erschien, sei der Beweis für die separate vollkommene Ideenwelt. Das Denken sei dazu da, sich an diese Ideen wieder zu erinnern, und entwickle sich mittels Dialogen. Platons Lehrer Sokrates zeigte im Dialog mit Menon und seinem Sklaven, wie der Sklave (und damit jeder Mensch) fähig ist zur eigenen Einsicht in mathematische Sätze: „Nicht also durch Belehrung, sondern durch bloßes Fragen wird er (der Sklave) zum Wissen gelangen, indem er aus sich selbst das Wissen gewinnt.“ (im Literaturverzeichnis L1, Menon, Kap. 20)
Platon war ein Verfechter des objektiven Idealismus: Die Ideen seien das Primäre und erst mit diesen Ideen sei die Natur erkennbar. Woher die Ideen und Sokrates’ Fragen kamen, blieb unklar. Demgegenüber vertraten die meisten Denker die Auffassung, dass die Ideen von den sinnlichen Erfahrungen der Menschen herrühren. Als Platonismus bezeichnet man heute die Auffassung, dass die Logik der mathematischen Sätze unabhängig von Raum, Zeit und Mensch existiert.
Dann entwickelte Aristoteles (384 - 322), ein Schüler Platons, die Logik zu einer systematischen Lehre des formal-richtigen Denkens. Davon beeinflusst, machte der etwa 20 Jahre jüngere Euklid aus den geometrischen Erkenntnissen ein logisches Denkgebilde, das er in der Buchreihe „Elemente“ veröffentlichte. Eigenschaften (= Aussagen, Sätze), die so einfach und allgemein waren, dass sie nicht aus anderen Sätzen herleitbar waren, hießen Postulate oder Axiome (unbeweisbare, evidente Grundwahrheiten). Mit Beweisen, deren Methoden selbst Teil des Systems sind, wurden andere Sätze daraus gefolgert, so dass die Geometrie ein logisches, deduktives Bauwerk wurde, d.h. eine Theorie, ein vernetztes Ganzes. Es war die erste logisch aufgebaute Theorie überhaupt.
Berühmt wurde das Parallelenaxiom der Planimetrie: „Zur einer Geraden G1 gibt es durch einen nicht auf ihr liegenden Punkt genau eine Gerade, die G1 nicht schneidet.“ Seine Gültigkeit nennt man euklidische Geometrie.
Logikkalkül
Im Unterschied zu Aristoteles prägen konstruktive Logikkalküle die Mathematik, auch „formale Systeme“ genannt, direkt erzeugt von eindeutigen, vielfältig kombinierbaren Objekten und Regeln (Axiome, Sätze), bei Euklid von den Elementen der Arithmetik und Geometrie. Das bedeutet, dass eine Folge von Regeln wieder zu einer neuen Regel wird, mit der weitere Regeln konstruierbar sind. Die Ergebnisse stecken voller Überraschungen. Umgekehrt lassen sich die Sätze oder Resultate der Mathematik als Folge anderer Regeln darstellen (sog. Beweis oder Berechnung), es sei denn es handelt sich um ganz elementare Regeln (sog. Axiome). Das ist etwas ganz anderes als die aristotelische Deduktion mit ihrem banalen Schluss vom Allgemeinen auf das Besondere.
Das Kombinieren und Zerlegen von Regeln ist wesentlich für das Verstehen der Mathematik und verlangt viel Kreativität. Sätze haben ganz unterschiedliche Bedeutungen und strukturieren dementsprechend die Mathematik. So wird der Satz des Pythagoras mehr für Berechnungen des Abstands (Länge der Hypotenuse) benutzt als für Flächenberechnungen. Um scheinbar Offensichtliches nicht mehrmals zu erklären, werden Regeln zu größeren Schritten zusammengefasst, es entstehen Gedankensprünge. Weil jeder eine andere Sichtweise hat, sind Verständnisprobleme lösbar, indem die Sprünge ggf. wieder in kleine verständliche Schritte zerlegt werden.
Seit dem Hellenismus ist die formal-exakte Logik der Schlüssel zur Mathematik. Die Logik verbindet alles, sie ordnet, strukturiert, vereinfacht alles und gibt uns Orientierung, ganz nach unseren Bedürfnissen. Heute entwirft jeder seine eigenen Strickmuster der Mathematik.
Vorbild und Werkzeug
Euklids Methode, aus wenigen Prinzipien alles zu erklären, galt Jahrhunderte lang als vorbildlich, besonders seit der Renaissance. Damals begann eine Suche nach Grundsätzen höchster Allgemeinheit. Isaac Newton (1643 – 1727) gelang dies in der klassischen Mechanik mit den Prinzipien von Kraft, Trägheit und Gravitation. Die Vision einer „Weltformel“ entstand. Dabei spielte die Technik der Mathematik eine rasant wachsende Rolle, besonders die neue Infinitesimalrechnung, die heute Analysis heißt, die erstmals Bewegungen mathematisch darstellen konnte.
H. J. Störig schreibt über das 17. Jh. (L6): „Wenn wir in der Mathematik eine Methode unantastbarer Beweisführung besitzen – so fragte man -, warum soll es dann nicht möglich sein, die menschliche Gesamterkenntnis, also alle anderen Wissenschaften und vor allem auch die Philosophie, auf eine ähnliche Grundlage zu stellen? Die Philosophie dieser Epoche ist von der Mathematik nicht zu trennen.“  René Descartes (1596 – 1650), einer der Pioniere des Rationalismus und des radikalen Denkens, der alles in Frage stellte, träumte davon, alle Probleme des Lebens algebraisch zu lösen. Der geniale Denker G. W. Leibniz (1646 – 1716) sah die Mathematik recht modern als „Wissenschaft vom Möglichen“ (L8, S. 106). Möglich war, was sich nicht widersprach. Immer neue Wunderwerke des Kalküls wurden entwickelt, teils logisch, teils empirisch.
Die fortschreitende Erkundung der Natur entdeckte überall „die Sprache der Mathematik“ (Galilei, 1564 - 1642) und konnte mit ihr die physikalischen Phänomene erklären und berechnen. Wie bei Euklid entstand ein neues Weltbild mit fundamentalen Gesetzen und logischen Konsequenzen. Immanuel Kant (1724 – 1804) war ein exzellenter Naturforscher, als er daran ging, Euklids Modell auf die Philosophie anzuwenden. Er ordnete die Denk- und Erfahrungswelt, indem er nach  fundamentalen Begriffen und Prinzipien des Erkenntnisvermögens forschte und die konstruktive Architektur des Verstandes analysierte. Seine absolute Fixierung auf die alltägliche Anschauung von Raum und Zeit, unter anderem auf das Parallelenaxiom, erwies sich aber als Fehler, der die Entwicklung der Mathematik hemmte. Carl F. Gauß (1777 – 1855) mied es, etwas dagegen zu publizieren.
Neue Unabhängigkeit
Seine bahnbrechenden Beweise und Untersuchungen machten Gauß nicht nur zum anerkannten „Fürsten der Mathematik“, sondern weckten allgemein die Hoffnung und den Ehrgeiz, die gesamte Mathematik logisch restlos zu durchdringen und auf ein logisch einwandfreies Fundament zu stellen. Viele erfolglose Versuche, das Parallelenaxiom aus den anderen Axiomen der euklidischen Geometrie zu beweisen, endeten im 19. Jh. mit der Entdeckung und Akzeptanz der nichteuklidischen Geometrie. Und damit entstand zum ersten Mal seit Platon wieder die Idee einer reinen Mathematik unabhängig von der Natur, ja sogar mehr noch: frei von Physik und Metaphysik.
Dank der Grundlagenforschung (Weierstraß, Cantor, Felix Klein u.a.) löste sich die Mathematik immer weiter von den realen Anwendungen und entwickelte sich zu einer rein abstrakten Wissenschaft. „Im 19. Jahrhundert vollzog sich der Wandel der Mathematik von einem nützlichen Handlanger der Wissenschaften zu einer Theorie der fundamentalen Wahrheiten. Damit entsprach sie eher der Philosophie … Immanuel Kants.“ (Marcus du Sautoy, S. 143) So war es folgerichtig, dass Mathematiker wie David Hilbert (1862 – 1943) um 1900 ein Programm vorschlugen, das die vollständige Formalisierung und Axiomatisierung der Mathematik zum Ziel hatte, ohne Bezug zur Realität. Das Neue war jetzt, das die Axiome nicht mehr wie bei Euklid oder Kant evident waren oder eine Wahrheit bedeuteten.
Das Hilbertsche Programm kam nicht zu Ende, da der Mathematiker Kurt Gödel (1906 – 1978) im Jahr 1930 bewies, dass es in Axiomensystemen unbeweisbare Aussagen geben kann. Bereits die Forderung der Widerspruchsfreiheit ist formal nicht beweisbar.
Um die Mathematik zusammenhängend als Theorie darzustellen, hat sich die axiomatische Methode durchgesetzt, aber ohne die Hoffnung, damit alle Fragen zu beantworten. Der Nutzen der Mathematik ergibt sich, wenn ihre Strukturen in den Objekten der realen Welt wiedererkannt werden oder zu realen Problemen passen. Die mathematischen Folgerungen gelten dann auch für diese Objekte und geben uns unglaubliche Möglichkeiten, die Welt mitzugestalten.
Spielraum
Mathematik ist ein Spiel mit abstrakten Objekten und festen Spielregeln. Spiele und Experimente gehören zur Arbeit des Mathematikers: Möglichkeiten suchen, entdecken, ausprobieren und auf Richtigkeit prüfen. Pierre Basieux weist in „Abenteuer Mathematik“ auf die Freiheit des Spielraums hin (L2, S. 15): „Nicht die Regeln sind das eigentlich Wichtige, sondern die Spielräume. Das gilt für jedes Spiel: beim Scrabble, in der Mathematik, in der Medizin, in Wirtschaft und Politik, im Leben. Definitionen und Gesetze sind zwar notwendig, stecken aber nur die formalen Raumgrenzen ab, in dem sich jeder frei bewegen darf, und diese Freiheit ist allein beschränkt durch die Kreativität der Akteure. Wirtschaft und Politik bieten ungeheure Spielräume für Visionen, Konzepte, Innovationen, Problemlösungen … und deren Realisierung. Nur bornierte Bürokraten reduzieren den Spielraum auf die Regeln.“ Mathematik ist mehr als Struktur und Abbild der Realität. Sie ist wesentlich mehr als die deduktive Schiene, auf der sie vorgeführt wird. Regeln machen aus ihr einen Raum von Möglichkeiten und - für Kreativität. Es macht Spaß, das selbst zu erleben, z. B. im Mathematikum in Gießen. Aber erfahren wir Mathematik nicht oft genug tragisch als auswegloses Labyrinth von Blockaden und Irrtümern?
Aus realen Strukturen werden Regeln herausgefiltert, deren logische Möglichkeiten durch Probieren erkundet werden. George Pólya (1887 – 1985): „In der Tat hat die Mathematik zwei Aspekte; sie ist die strenge Wissenschaft Euklids, aber sie ist auch etwas anderes. Nach Euklid dargestellt, erscheint die Mathematik als eine systematische deduktive Wissenschaft; aber die Mathematik im Entstehen erscheint als experimentelle induktive Wissenschaft.“ (L3, Schule des Denkens, Vorwort) Wie logisch streng die Mathematik auch aussieht, der Weg zu ihr führt chaotisch suchend über glückliche Einfälle, anstrengend und Zeit raubend. Auch wenn Experimente nichts beweisen, führen sie doch zu neuen Einsichten.
Schule der Kreativität – Experimente, Fragen, Variationen
In der eindeutig klaren Welt der mathematischen Objekte können wir experimentieren, forschen und entdecken wie in der wirklichen Natur, mit analogen Kontrollen wie in der Natur, deren regelmäßige Muster sie darstellt. Um mathematisch zu denken, brauchen wir die Wirklichkeit nur distanziert im Hintergrund, als Anregung und Anschauungsmaterial; im Wesentlichen brauchen wir nur unseren Kopf, einige anregende Ideen und etwas Schreibmaterial, um die eigenen flüchtigen Ideen zu fixieren, um sie zu ordnen, umzugestalten und mit ihnen zu experimentieren, als wären es reale Objekte. Mathematik ist allgegenwärtig, immer und überall verfügbar. So gesehen ist sie die unaufwendigste Schule des Denkens – so bequem wie Sudoku lösen unterwegs. Es liegt an unserer Kreativität, unserer Fantasie, unserer Beweglichkeit im Denken, sich darin zu orientieren, diese Logik zu ergründen und selbst zu erleben.
>>>> Aufgabe (7. Schuljahr): Geraden begrenzen Flächen
Mit 3 Geraden kannst du eine dreieckige Fläche abgrenzen. Maximal wie viele Flächen kannst du mit 4, 5, 6, 7, ... n Geraden vollständig abgrenzen? (Der Papierrand ist weder Gerade noch Grenze.)
Zusatzfrage: Gibt es Regeln für die Anzahl Dreiecke, Vierecke usw.? (L9)
Anleitung: Probieren, vermuten, begründen…<<<<
Das mathematische Denken entwickelt sich durch die Konfrontation mit Problemen, das Suchen nach sinnvollen Fragen, durch Zweifel und das Aufspüren von Widersprüchen. Probleme sind das lebensnotwendige Elixier jeder Wissenschaft. Neues mathematisches Denken springt zwischen Rebellion und akribischer Logik, bricht mit Gewohnheiten, hinterfragt verrückte Ideen. Nur in der Freiheit zum Absurden ist die mathematische Logik erkennbar. Ohne schrankenlose verrückte Fantasie gibt es keine Klarheit, keine Sicherheit. Ohne eigene Fragen, Thesen und Irrwege gibt es keinen Zugang zur Mathematik. Unsere experimentelle Freiheit baut immer auf unserem aktuellen logischen Verständnis auf und orientiert sich an Prinzipien. Nur so kann alles in Frage gestellt werden. Sonst gibt es statt Entwicklung nur Chaos. Wenn am Ende alle Zweifel zerstreut sind, überleben grundsätzlich nur logisch einwandfreie Ergebnisse.
„Das Wesen der Mathematik liegt in ihrer Freiheit“, meinte Georg Cantor (1845 – 1918). Freiheit des Denkens bedeutet, alle Meinungen Punkt für Punkt anzuzweifeln und als widersprüchlich zu hinterfragen, insbesondere auch die Grundlagen, um evtl. neue effektivere Argumentationen, Grundlagen, oder Ansichten zu entwickeln. Diese radikale Freiheit ist notwendig für die Entwicklung jeder Wissenschaft, in der Mathematik die Freiheit, Spielregeln zu ersinnen, zu entdecken und zu variieren und dann zu erkunden, welche Möglichkeiten sie bieten.  
Ein mathematisches Problem besteht aus vorgegebenen Bedingungen und gesuchten Objekten oder Aussagen, die daraus zu ermitteln sind, sei es durch Berechnungen oder Beweise. Dazu wird analysiert und probiert, was zu der Situation bereits bekannt ist, ob es bereits ähnliche Situationen gegeben hat oder ob man ein ähnliches Problem lösen kann. Probleme werden variiert wie Mutationen, vereinfacht oder in kleine lösbare Teilaufgaben zerlegt, um sie zu lösen. Aus dem Kleinen entsteht das Große. Probleme sind wie Krimis: Nicht die direkte Frage „Wer ist der Täter?“ führt weiter, sondern: „Wer sind die Beteiligten? Welche Informationen gibt es über sie?“ Mit dem Lösungsweg wächst das Verstehen der Logik und der Methoden. (Weitere Details siehe Georg Pólya, Schule des Denkens.)
>>>> Aufgabe: Herr Lutz will aus einem DIN-A4-Blatt (210 mm breit, 297 mm hoch) zwei möglichst große vollständige Kreise mit gleichem Radius ausschneiden.
Konstruktion mit Zirkel und Lineal. Welchen Durchmesser hat jeder Kreis? (Gemessen in der Konstruktionszeichnung oder berechnet mit dem Satz des Pythagoras.)
Anleitung mit der Pólya-Regel „Löse zuerst eine verwandte Aufgabe“: Um einen gegebenen Kreis konstruiere man ein zu oben ähnliches Rechteck…
(Zeichnung und Details siehe Aufgabe von Juni 2004 in  http://www.schulportal.bremerhaven.de/mathezirkel/ ) <<<<
Kreativität, Zweifel, Kontrolle und Ausdauer führen zum Erfolg. Kreativität ist ohne kausalen Grund, ohne Logik, sogar im Reich der Logik. Bertrand Russell: „Eine Logik der Erfindung – etwas Derartiges gibt es nicht.“(L4, S. 100) Kreative Quelle ist die Vielfalt unserer Erfahrungen, die willkürliche Kombination gegebener Objekte. Ihre Ergebnisse sind unvorsehbar wie Zufallsexperimente, messen sich nur am Erfolg. Zweifel an ihnen sind sinnvoll. Letzten Endes rührt die Richtigkeit der mathematischen Lehre daher, dass niemand sie widerlegen konnte. Sie ist ein Produkt des freien Dialogs. Die Kontrolle vergleicht die Ergebnisse auf verschiedene Weise. Je vielseitiger sie ist, desto größer ist die Sicherheit, dass die neuen Ergebnisse richtig sind. Für das Verstehen der Mathematik ist die Vernetzung ihrer Inhalte notwendig. Auf diese Weise kann man auch eigenständig konstruktiv sein. In unseren Köpfen mischen sich die mathematischen Ideen mit allem Möglichen und wandeln sich. Dadurch sind wir zwar kreativ, neigen aber auch zu Fehlern. Der absolute Charakter der Mathematik ist kein Grund, sich an alten Wegen festzuklammern. Kritische Zweifel an den Darstellungen helfen, die eigenen Ideen zu überprüfen und anzupassen und eigene Argumentationen zu entwickeln.
Mathematik kann auf jedem Niveau geistig anregen. Dem stupiden Rechnen setzt die Grundschule fantasievolle Konzepte entgegen, während einige Eltern über die „schweren Aufgaben“ ihrer Kinder stöhnen. Danach geht die Kreativität im Technik-Üben unter, im Irrglauben, die Reduktion auf fertige Schemata reiche aus. Lichtblicke sind der Modellversuch Sinus, die Mathe-AGs und Wettbewerbe, denn: „Es kommt entscheidend darauf an, den Studenten beizubringen, wie ihr Denken funktioniert, nicht, was sie denken sollen.“ (L7, Vorwort) Dafür ist die Mathematik unersetzlich. Lernen heißt, Neues mit Bekanntem zu vernetzen und daraus wieder neue Ideen zu bilden. Logisches Denken gedeiht erst in Neugier und freier Experimentierlust, und dafür bietet die Mathematik ein weites Feld.
Offenheit
Die Mathematik erkundet sehr allgemeine offene logische Systeme, die ihre Wirkung aus exakten Definitionen und Regeln entfalten. System bedeutet dabei die Gesamtheit der grundlegenden Elemente, Axiome und Bedingungen. Es ist offen wegen der unbegrenzten Ausbaufähigkeit. Offenheit bedeutet Unendlichkeit als Weg, als Grenzüberschreitung, nicht als Ziel. Wirkung bezeichnet die uneingeschränkte Gesamtheit der logischen Möglichkeiten und Folgerungen aus einer relativ kleinen Basis von Objekten, wobei die logischen Mittel auch Teil des Systems sind. Eines ihrer stärksten Ereignisse ist die (logische) Induktion, wenn aus einfachen, primitiven Regeln wesentlich allgemeinere Regeln folgen, und zwar mit einer absoluten Sicherheit, wie sie nur die Mathematik kennt. Aus Endlichem entsteht durch rekursive Wiederholungen Unendliches. Die wichtigste Erkenntnismethode ist die des Dialogs, das Aufstellen von Fragen und Hypothesen, die Beseitigung von Widersprüchen. Neue Schlussfolgerungen offenbaren neue Wirkungen. Die Frage, ob das System bereits vollständig mit allen Konsequenzen existiert oder ob es durch logische Wirkung expandiert, ist irrelevant, weil es zeitlos ist. Weil wir immer und überall zu den gleichen Schlüssen gelangen und damit zur Einsicht ihrer Objektivität, ohne Widersprüche zu finden, haben wir ein Gefühl der Sicherheit, ohne dass wir alles erklären können.
Mathematik ist wie alle Information Teil der logischen Dimension des Universums, die der Materie ihre Organisationsmöglichkeiten vorgibt. Indem wir sie als Problem wahrnehmen, fangen wir einen Dialog mit ihr an, stellen Fragen und Thesen auf. Von Anfang an ist sie eine Schule des Problemlösens gewesen, eine Herausforderung an unsere Kreativität und Fantasie. Ihre logischen Systeme sind die ersten einfachen exakten Definitionen von Wirkungseinheiten, quasi primitive Organisationsformen, die sich rein logisch entfalten. Wir erleben, wie aus Einfachem plötzlich Komplexes wird, weil verschiedene Regeln oder Strukturen sich plötzlich wunderbar ergänzen. Es ist wie in der Natur, die sie mitgestaltet. Ihre Erkundung offenbart selbst evolutionäre Merkmale. Als Wissenschaft entfaltet sie sich prinzipiell nicht anders als das Leben, und zwar auch kreativ. Ihre Möglichkeiten sind unerschöpflich. Damit bleibt die Zukunft der Mathematik offen. Welche Bedeutung sie hinzugewinnen wird und wie sie sich weiter entwickeln wird, ist unvorhersehbar. Sie bleibt ein Abenteuer des unaufhörlich kühnen Weiterdenkens, - so wie der Bergsteiger nie ankommt, sondern immer weiter unterwegs ist in Unbekanntes.
Zitierte Literatur:
L1. Platon, Sämtliche Dialoge, Band II (Menon), Verlag F. Meiner, Hamburg 1988.
L2. Pierre Basieux, Abenteuer Mathematik, Brücken zwischen Wirklichkeit und Fiktion, Rowohlt Verlag, Reinbek 1999.
L3. Georg Pólya, Schule des Denkens - Vom Lösen mathematischer Probleme, Francke Verlag, Bern 1949 ff. Originaltitel: How to Solve it.
L4. Bertrand Russell, Denker des Abendlandes, dtv, München 1997, 431 S.
L5. Marcus du Sautoy, Die Musik der Primzahlen, Verlag C.H. Beck, München 2004
L6. Hans Joachim Störig, Kleine Weltgeschichte der Philosophie, Verlag W. Kohlhammer, Stuttgart 1990.
L7. Jurij B. Tschernjak und Robert M. Rose (MIT), Die Hühnchen von Minsk und 99 andere hübsche Probleme, Rowohlt Verlag, Reinbek bei Hamburg 2004
L8. Carl Friedrich von Weizsäcker, Zeit und Wissen, Hanser Verlag, München 1992.
L9. Beat Wälti-Scolari, Problemlösen macht Schule (Sekundarstufe I), Klett und Balmer Verlag, Zug (Schweiz) 2001
Weitere Literatur:
L10. Gerd Binnig, Aus dem Nichts, Über die Kreativität von Natur und Mensch, Piper Verlag, München 1992
L11. Keith Devlin, Das Mathe-Gen, Verlag Klett-Cotta, 2001.
L12. Roger Penrose, Computerdenken, Spektrum Verlag, Heidelberg 1991, mit einem naturphilosophischen Vorwort von Dieter Wandschneider.
L13. Karl Popper, Alles Leben ist Problemlösen, Piper Verlag, München 1996.
L15. Gero von Randow, Mathematik: frei und radikal, Die Zeit, Nr. 50/2004.
L16. Manfred Spitzer, Lernen, Gehirnforschung und die Schule des Lebens, Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2007
Experimentelles Museum:
Mathematikum, Liebigstr. 8, D-35390 Gießen (www.mathematikum.de)
Wettbewerbe :
Mathematik-Olympiade, Bundeswettbewerb Mathematik, Känguru-Wettbewerb